Je ne suis pas certains.
Au pire on fera plus compliqué, mais on va essayer simple :

Sur ton hébergeur actuel, tente de changer la config de la table SQL (section Générale de ton administration) en indiquant celle de ton nouvel hébergeur (te trompe pas). Evidemment, après tu auras plein d'erreurs. J'espère juste que ça n'empêche pas de faire le changement complet.
Ensuite, transvase tous les fichiers de l'ancien au nouveau serveur (en n'oubliant pas de remettre les chmod 777). Puis, fait de même pour la base de données (tu exportes  depuis le phpmyadmin de ton ancien hébergeur et tu importe depuis le nouveau).
Enfin, indique moi les erreurs... si il y a des erreurs .

Oui, parce que même si c'est le même hébergeur, tes identifiants de connexion mysql changent.